Le cours est facultatif mais fortement conseillé
Le cours est dispensé en anglais

 

 

Equipe pédagogique  

Coord. Véronique Aubin (veronique.aubin@centralesupelec.fr, CentraleSupelec)

 

L'unité d'enseignement est facultative. 
Les cours sont dispensés en anglais.

 

Descriptif de l'Unité d'Enseignement

Non obligatoire:  0 ECTS / 5 séances de 3 heures

 Cours magistral : 6 séances de 1h30

 Travaux dirigés : 4 séances de 1h30

Equipe pédagogique

Coord. Véronique Aubin (veronique.aubin@centralesupelec.fr, CentraleSupelec)

 

 

Objectifs

Le cours de remise à niveau vise tout d’abord à rappeler (voire introduire) les concepts généraux de cinématique et les différentes mesures de contraintes qui interviennent pour formuler l’équilibre d’un milieu continu déformable. Les compléments d’algèbre, d’analyse vectorielle et tensorielle utiles à la compréhension des concepts mécaniques sont proposés aux début du cours. Le cours commence par un rappel des éléments de mathématique permettant de manipuler les tenseurs qui sont les outils privilégiés de la mécanique des milieux continus. On se place d’emblée en grandes transformations, le cadre plus restrictif des petites déformations s’en déduisant par linéarisation. En particulier, l’objectivité (i.e. indépendance par rapport au référentiel) des grandeurs physiques introduites est discutée. La notation (moderne) intrinsèque est utilisée, complétée si nécessaire de la notation indicielle voire explicite. La dernière partie se restreint à l’élasticité linéaire avec une évocation de l’élasticité non linéaire. Quelques exemples d’applications sont finalement développés. Ce cours doit permettre à l’étudiant du mastère MAGIS d’aborder efficacement et avec clairvoyance les sujets plus spécifiques qui seront traités au cours du semestre.

Thèmes abordés

Chapitre 1. Calcul tensoriel

• Introduction sur les vecteurs et tenseurs cartésiens
• Opérations algébriques sur les tenseurs d’ordre deux: contraction, produit scalaire, transposition, trace, déterminant et inverse, décomposition
• Tenseurs particuliers : tenseur orthogonal, tenseurs symétrique et antisymétrique, tenseurs sphérique et déviatorique
• Invariants d'un tenseur
• Valeurs propres et vecteurs propres de tenseurs
• Eléments d’analyse tensorielle : fonctions tensorielles à valeurs scalaires ou tensorielles
• Opérateurs gradient et divergence et leur application
• Dérivation tensorielle d'une fonction scalaire
• Dérivation spatiale ou temporelle d'une fonction scalaire ou tensorielle de tenseur
• Théorèmes d’intégration de Gauss et Stokes

Chapitre 2. Cinématique des milieux continus

• Corps, configuration et mouvement – Descriptions matérielle et spatiale
• Dérivées matérielles, vitesse et accélération
• Gradient de déformation, tenseurs de déformation et invariants – Décomposition polaire,
• Changements de volume et d’aire – Conservation de la masse – Distorsion
• Déformations homogènes et mouvement de corps rigide
• Cinématique linéarisée – Petits déplacements et tenseur de déformation linéarisé
• Taux de déformation
• Objectivité des grandeurs cinématiques

Chapitre 3. Contraintes et équilibre

• Forces volumiques et de contact – Postulat de Cauchy
• Equations d’équilibre d’un milieu continu
• Propriétés du tenseur de contrainte de Cauchy – Contrainte déviatorique et volumique
• Exemples d’états de contrainte
• Tenseurs de contraintes de Piola-Kirchhoff
• Objectivité des contraintes – Principe du travail virtuel

Chapitre 4. Elasticité et applications

• Rappels sur l’élasticité linéaire et infinitésimale
• Tenseur d’élasticité en représentation matérielle et spatiale
• Exemples d’applications

Bibliographie

• Bonet J. and Wood R. D., Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis, Cambridge University Press, 2000
• Botsis J. et Deville M., Mécanique des milieux continus: une introduction, Presses Universitaires Romandes, 2005
• Curnier A., Mécanique des solides déformables (Tome 1), Presses Universitaires Romandes, 2004†
• Fung Y. C. and Pin Tong, Classical and computational solid mechanics, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2001
• Gurtin M., An introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, 1981
• Haupt P., Continuum Mechanics and Theory of Materials, Springer, 2000 †
• Holzapfel G.A., Nonlinear Solid Mechanics, John Wiley & Sons, LTD, 2000
• Lemaitre J. et Chaboche J. L., Mécanique des matériaux solides, Dunod, 1988
• Simmonds J.G., A Brief on Tensor Analysis, 2nd edn, Springer-Verlag, New York, 1994

 

† : ouvrages jugés plus difficiles

 

 

 

 

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